update config and a post

config.toml

@@ -104,7 +104,7 @@ enableEmoji = true
         pre = "<i class='fab fa-github fa-fw'></i>"
         post = ""
         name = ""
-        url = "https://github.com/Lruihao/FixIt"
+        url = "https://github.com/game-loader"
         title = "GitHub"
         weight = 7
     [languages.en.params]
@@ -383,11 +383,11 @@ enableEmoji = true
           # Gravatar 邮箱，用于优先在主页显示的头像
           gravatarEmail = ""
           # 主页显示头像的 URL
-          avatarURL = "https://fastly.jsdelivr.net/gh/game-loader/picbase@master/uPic/0324t4uyuh.jpg"
+          avatarURL = "https://testingcf.jsdelivr.net/gh/game-loader/picbase@master/uPic/0225jYk8dFCastle 01 by John Park.jpg"
           # 主页显示的网站标题 (支持 HTML 格式)
           title = ""
           # 主页显示的网站副标题
-          subtitle = "爱发电链接: https://afdian.net/a/zen01"
+          subtitle = "Logic 的记录地"
           # 是否为副标题显示打字机动画
           typeit = true
           # 是否显示社交账号

content/posts/ESL3-2.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+---
+title: ESL3.2 笔记
+author: Logic
+date: 2023-10-11
+categories: ["笔记"]
+tags: ["ESL"]
+draft: false
+---
+
+## 3.2.2 高斯-马尔可夫定理
+
+## 3.2.3 用单变量回归理解多元线性回归模型
+
+对于单变量来说，输入数据可以用向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2...x_N)^T$来表示，其中$x_j$代表第j个输入数据。每个输入数据只有一个变量x，故可以用一个标量来表示。设每个$x_j$对应的观测值（也就是实际的值）为$y_j$。则回归系数和残差可通过如下方式计算
+
+$$
+\hat{\beta}=\frac{\sum_{1}^{N} x_{i} y_{i}}{\sum_{1}^{N} x_{i}^{2}} \tag{1}
+
+
+$$
+
+$$
+r_i=y_i-x_i\hat{\beta}
+$$
+
+回归系数的计算很好理解，因为此处我们假设模型符合线性回归，则所有的$x_j和对应的y_j$都符合同一个线性表示，不考虑截距的情况下设这个线性表示为$y_j=\beta x_j$，则求回归系数变为
+
+$$
+\hat{\beta}=\frac{\sum_{1}^{N} \beta x_i^2 }{\sum_{1}^{N} x_i^2}
+$$
+
+注意这里的$\beta$是根据我们目前已有的观测值计算得出的，并不一定是解决这个问题的线性模型的真正的$\beta$，所以我们将它写为$\hat{\beta}$
+为了叙述的方便，我们记$\mathbf{y}=(y_1,y_2...y_N)^T$，$\mathbf{x}=(x_1,x_2...x_N)^T$。则此时$\mathbf{x},\mathbf{y}$都是列向量（行向量转置）。定义
+
+$$
+\begin{aligned}
+\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle & =\sum_{i=1}^{N} x_{i} y_{i} \\
+& =\mathbf{x}^{T} \mathbf{y}
+\end{aligned}
+$$
+
+那么刚才\hat{\beta}的解可以写为
+
+$$
+\hat{\beta}={\frac{\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle}{\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle}},
+$$
+
+$$
+\mathbf{r}=\mathbf{y}-\mathbf{x}{\hat{\boldsymbol{\beta}}}.
+$$
+
+对于输入数$\mathbf{x_1},\mathbf{x_2}...$ 等组成的输入矩阵$\mathbf{X}$，如果$\mathbf{x_1},\mathbf{x_2}...$ 俩俩正交，则最终得到的最小二乘系数矩阵$\mathbf{\beta}$中的第j列$\beta_j=<\mathbf{x_j},\mathbf{y}>/<\mathbf{x_j},\mathbf{x_j}>$，即最小二乘系数$\beta_j$的值仅与输入矩阵中的$\mathbf{x_j}$列有关而与其他列无关。这个结论从直观上是正确的。
+
+接下来考虑有截距的情况，此时$y=\beta x+ b$。